Question

設平面內(nèi)有k條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點，設k條直線的交點個數(shù)為f(k)，則f(k+1)與f(k)的關系是(    )

A.f(k+1)=f(k)+k+1                                   B.f(k+1)=f(k)+k-1

C.f(k+1)=f(k)+k                                       D.f(k+1)=f(k)+k+2

Answer 1

C

解析：假設n=k(k≥2)時命題成立，即平面內(nèi)滿足題設的任何k條直線的交點的個數(shù)為?f(k).當n=k+1時，任取其中1條直線，記為l，由上述歸納法的假設，除l以外的其他k條直線的交點的個數(shù)為f(k).另外，因為已知任何兩條直線不平行，所以直線l必與平面內(nèi)其他k條直線都相交（有k個交點）：又因為已知任何三條直線不過同一點，所以上面的k個交點兩兩不相同，且與平面內(nèi)其他的f(k)個交點也兩兩不相同，從而平面內(nèi)交點的個數(shù)是f(k)+k=f(k+1).