Question

【題目】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且函數(shù)，若方程至少有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

由等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，求得參數(shù)，再將方程根的個(gè)數(shù)的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求得直線與函數(shù)相切時(shí)的斜率，即可求得參數(shù)的范圍.

因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為

根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，容易知，解得.

令，則

方程至少有三個(gè)實(shí)數(shù)根

等價(jià)于至少有三個(gè)實(shí)數(shù)根，

也等價(jià)于函數(shù)與直線有至少三個(gè)交點(diǎn)，

又是斜率為，且恒過(guò)的直線，

故只需求出函數(shù)與直線有三個(gè)交點(diǎn)的臨界狀態(tài)時(shí)，對(duì)應(yīng)直線的斜率即可.

則在同一直角坐標(biāo)系下畫(huà)出函數(shù)圖像如下所示：

由圖可知，當(dāng)直線與相切時(shí)，恰有三個(gè)交點(diǎn)，

設(shè)切點(diǎn)為，，故過(guò)切點(diǎn)的切線方程為：

，又因?yàn)?/span>，且該切線過(guò)點(diǎn)

故可得

即，解得，

故切點(diǎn)為，此時(shí)直線的斜率為

此時(shí)有三個(gè)交點(diǎn)，故可取；

又根據(jù)圖象可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，也是臨界狀態(tài)，

此時(shí)直線的斜率為

此時(shí)有三個(gè)交點(diǎn)，故可�。�

綜上所述，要滿足題意，只需即可.

故選：C.