Question

已知函數(shù)f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

，x∈R．
（I）求f（

π

4

）的值；
（II）試討論函數(shù)f（x）的基本性質(zhì)（直接寫出結(jié)論）．

Answer 1

分析：（法一）利用二倍角公式及輔助角公式對函數(shù)化簡可得，f(x)=sin(2x+

π

3

)
（I）直接把x=

π

4

代入可求．
（II）結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性，單調(diào)性，最值，周期性等方面求解
（法二）（I）直接把x=

π

4

代入求解即可．
（II）同法一

解答：解：（法一）f(x)=

3

×

1+c0s2x

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x=sin(2x+

π

3

)
（I ）f(

π

4

)=sin(2×

π

4

+

π

3

 )=cos

π

3

=

1

2

（II）函數(shù)的基本性質(zhì)如下
①奇偶性：函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)
②單調(diào)性：函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]  k∈Z，單調(diào)減區(qū)間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]  k∈Z
③最值：函數(shù)f（x）的最大值1，最小值為-1
④周期性：函數(shù)f（x）的最小正周期為
（法二）（I）f(

π

4

)=

3

cos2 

π

4

+sin

π

4

cos

π

4

-

3

2

=

3

×

1

2

+

2

2

×

2

2

-

3

2

=

1

2

（II）f(x)=

3

×

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x-

3

2

      

1

2

sin2x+

3

2

cos2x=sin(2x+

π

3

)
下同解法一的（II）．

點評：本題主要考查了二倍角公式、兩角和與差的三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查求解運算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想