Question

【題目】已知數(shù)列{an}是首項(xiàng) ，公比 的等比數(shù)列．設(shè) （n∈N*）． （Ⅰ）求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)cn=an+b2n ， 求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵數(shù)列{an}是首項(xiàng) ，公比 的等比數(shù)列， ∴ ，則 = ．
∴bn+1﹣bn=[2（n+1）﹣1]﹣（2n﹣1）=2．
則數(shù)列{bn}是以2為公差的等差數(shù)列；
（Ⅱ）解：cn=an+b2n= ．
∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn=c1+c2+…+cn=[ ]+4（1+2+…+n）﹣n
= = = ．
【解析】（Ⅰ）由已知求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入 可得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，由等差數(shù)列的定義證明數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；（Ⅱ）把數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式代入cn=an+b2n ， 分組后再由等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn ．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．