Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+cos（2x+

π

6

），有下列命題：
①y=f（x）的最大值為

2

；
②y=f（x）是以π為最小正周期的周期函數(shù)；
③y=f（x）在區(qū)間（

π

24

，

13π

24

）上單調(diào)遞減；
④將函數(shù)y=

2

cos2x的圖象向左平移

π

24

個單位后，將與已知函數(shù)的圖象重合．
其中正確命題的序號是

①②③

．（注：把你認為正確的命題的序號都填上）

Answer 1

分析：利用兩角和差的正余弦公式可把f（x）化為

2

sin(2x+

5π

12

)，進而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出答案．

解答：解：函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+cos（2x+

π

6

）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+

3

2

cos2x-

1

2

sin2x
=

1+ 3

2

cos2x+

3 -1

2

sin2x=

2

(

6 + 2

4

cos2x+

6 - 2

4

sin2x)=

2

sin(2x+

5π

12

)．
∴函數(shù)f（x）的最大值為

2

，因此①正確；
周期T=

2π

2

=π，因此②正確；
當x∈(

π

24

，

13π

24

)時，(2x+

5π

12

)∈(

π

2

，

3π

2

)，因此y=f（x）在區(qū)間（

π

24

，

13π

24

）上單調(diào)遞減，因此③正確；
將函數(shù)y=

2

cos2x的圖象向左平移

π

24

個單位后，得到y(tǒng)=

2

cos2(x+

π

24

)
=

2

cos(2x+

π

12

)=

2

sin(

π

2

-2x-

π

12

)=-

2

sin(2x-

5π

12

)≠

2

sin(2x+

5π

12

)，因此④不正確．
綜上可知：①②③．
故答案為①②③．

點評：熟練掌握兩角和差的正余弦公式、正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．