Question

【題目】已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線與直線平行.

（1）求實(shí)數(shù)，的值；

（2）若對(duì)任意的，函數(shù)在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），； （2）

【解析】

（1）由的圖象經(jīng)過(guò)可得，求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由條件可得的方程，解得，即可得到；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍即可．

（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，

所以，所以，即.

因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，所以，

所以，所以，解得，從而.

（2）由（1）知，，

因?yàn)?/span>，

所以，

所以，

令，則，此時(shí).

所以有兩個(gè)不等的實(shí)根，，

因?yàn)?/span>，所以方程有一正一負(fù)的兩個(gè)實(shí)根.

又，，又在上總不單調(diào)，

所以在上只有一個(gè)正實(shí)根，

所以 ，所以，所以，

因?yàn)?/span>，所以.

令，易知在上單調(diào)遞減，

所以，

所以，解得，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.