Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若存在單調(diào)增區(qū)間，求的取值范圍；

（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出的取值范圍？若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，存在單調(diào)遞增區(qū)間，轉(zhuǎn)化有正解，分類討論求的取值范圍.

（Ⅱ）方程在內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化在上存在兩個(gè)零點(diǎn)，求導(dǎo)，研究單調(diào)性,限制端點(diǎn)值及極小值即可得解.

（Ⅰ）由已知，得，且.

則

∵函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間.

∴，有的解.

①當(dāng)時(shí)，的圖象為開口向下的拋物線，要使總有的解，則方程至少有一個(gè)不重復(fù)正根，而方程總有兩個(gè)不相等的根時(shí)，則必定是兩個(gè)不相等的正根，故只需，即，即.

②當(dāng)時(shí)，的圖象為開口向上的拋物線，一定有的解.

綜上，的取值范圍是.

（Ⅱ）方程

得為，

等價(jià)于方程.

設(shè).于是原方程在區(qū)間內(nèi)根的問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)問題.

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)；

若在內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，只須

解得