Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量， ，其中為的兩個內(nèi)角.

（1）若，求證： 為直角；

（2）若，求證： 為銳角.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）借助平面向量的坐標(biāo)形式的數(shù)量積公式建立方程，然后運(yùn)用誘導(dǎo)公式分析推證；（2）借助平面向量的坐標(biāo)形式的數(shù)量積公式建立方程，即，也即然后運(yùn)用兩角和的正切公式分析推證，即：

（1）易得，

因?yàn)?/span>，所以，即.

因?yàn)?/span>，且函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，

所以，即為直角.

（2）因?yàn)?/span>，所以，

即.

因?yàn)?/span>是三角形內(nèi)角，所以，

于是，因而中恰有一個是鈍角，∴，

從而，

所以，即證為銳角

注：（2）解得后，得與異號，

若，

則

于是，在中，有兩個鈍角和，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，不可能

于是必有，即證為銳角