Question

已知f（

1+x

1-x

）=2（

1+x2

1-x2

），
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，3]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用換元法，令t=

1+x

1-x

（t≠-1），則x=

t-1

t+1

．即可得到

1+x2

1-x2

=

1+( t-1 t+1 )2

1-( t-1 t+1 )2

=

t2+1

2t

=

1

2

(t+

1

t

)．可得f（t），再把t換成x即可．
（2）利用導(dǎo)數(shù)即可得到函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，3]上的單調(diào)性，進(jìn)而得到值域．

解答：解：（1）令t=

1+x

1-x

（t≠-1），則x=

t-1

t+1

．
∴

1+x2

1-x2

=

1+( t-1 t+1 )2

1-( t-1 t+1 )2

=

t2+1

2t

=

1

2

(t+

1

t

)．
f（t）=2×

1

2

(t+

1

t

)=t+

1

t

（t≠-1）．
即f（x）=x+

1

x

(x≠-1)．
（2）∵f′(x)=1-

1

x2

=

x2-1

x2

（x≠-1）．令f′（x）=0，解得x=1．
在區(qū)間[

1

2

，1)上f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；在區(qū)間（1，3]上f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
f（x）_min=f（1）=2，
而f(

1

2

)=

5

2

，f（3）=

10

3

，∴f(x)max=f(3)=

10

3

．
∴函數(shù)f（x）的值域[2，

10

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了換元法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于基礎(chǔ)題．