Question

已知函數(shù)y=sin2x+2sinxsin(

π

2

-x)+3sin2(

3π

2

-x)
（1）若tanx=

1

2

，求y的值；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求y的值域．

Answer 1

分析：（1）由題意，由于已知tanx=

1

2

，故可先由誘導(dǎo)公式對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由商數(shù)關(guān)系將函數(shù)變?yōu)殛P(guān)于tanx的代數(shù)式，將正切值代入計(jì)算求y值；
（2）由題意，可先對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，由三角恒等變換公式可將函數(shù)式變?yōu)閥=2+

2

sin(2x+

π

4

)，再根據(jù)x∈[0，

π

2

]易求得函數(shù)的值域．

解答：解：（1）y=sin2x+2sinxsin(

π

2

-x)+3sin2(

3π

2

-x)
=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=

sin2x+2sinxcosx+3cos2x

sin2x+cos2x

=

tan2x+2tanx+3

tan2x+1

∵tanx=

1

2

∴y=

1 4 +1+3

1 4 +1

=

17

5

（2）由（1）y=sin2x+2sinxsin(

π

2

-x)+3sin2(

3π

2

-x)
=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=2+sin2x+cos2x=2+

2

sin(2x+

π

4

)
由于x∈[0，

π

2

]，所以2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]
所以sin(2x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]
∴y的值域是[1，2+

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角恒等變換的應(yīng)用，考查了兩角和的正弦函數(shù)，正、余弦的二倍角公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦型復(fù)合函數(shù)的值域的求法，本題涉及到的公式較多，體現(xiàn)了三角函數(shù)做題的特點(diǎn)，公式多，變形靈活，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用三角函數(shù)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，然后再求值或求值域，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想及運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算的能力，是三角函數(shù)中有一定難度的題目．