Question

20、關于正整數(shù)2160，求：
（1）它有多少個不同的正因數(shù)？
（2）它的所有正因數(shù)的和是多少？

Answer 1

分析：（1）我們要求正整數(shù)2160正因數(shù)的個數(shù)，我們可以將N=2160進行分解，然后利用2160的正因數(shù)為P=2^α×3^β×5^γ，再根據排列組合公式即可得到2160的正因數(shù)的個數(shù)．
（2）我們要求正整數(shù)2160正因數(shù)的和，我們可以根據式子（2⁰+2¹+2²+2³+2⁴）×（3⁰+3¹+3²+3³）×（5⁰+5¹）的展開式就是40個正因數(shù)．展開求和，即可得到答案．

解答：解：（1）∵N=2160=2⁴×3³×5，
∴2160的正因數(shù)為P=2^α×3^β×5^γ，
其中α=0，1，2，3，4，β=0，1，2，3，γ=0，1．
∴2160的正因數(shù)共有5×4×2=40個．
（2）式子（2⁰+2¹+2²+2³+2⁴）×（3⁰+3¹+3²+3³）×（5⁰+5¹）
的展開式就是40個正因數(shù)．
∴正因數(shù)之和為31×40×6=7440．

點評：我們要求正整數(shù)N正因數(shù)的個數(shù)，我們可以將N進行分解，然后利用N的正因數(shù)為P，再根據排列組合公式即可得到N的正因數(shù)的個數(shù)．