Question

關(guān)于正整數(shù)2160，求：
（1）它有多少個(gè)不同的正因數(shù)？
（2）它的所有正因數(shù)的和是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）我們要求正整數(shù)2160正因數(shù)的個(gè)數(shù)，我們可以將N=2160進(jìn)行分解，然后利用2160的正因數(shù)為P=2^α×3^β×5^γ，再根據(jù)排列組合公式即可得到2160的正因數(shù)的個(gè)數(shù)．
（2）我們要求正整數(shù)2160正因數(shù)的和，我們可以根據(jù)式子（2+2¹+2²+2³+2⁴）×（3+3¹+3²+3³）×（5+5¹）的展開式就是40個(gè)正因數(shù)．展開求和，即可得到答案．
解答：解：（1）∵N=2160=2⁴×3³×5，
∴2160的正因數(shù)為P=2^α×3^β×5^γ，
其中α=0，1，2，3，4，β=0，1，2，3，γ=0，1．
∴2160的正因數(shù)共有5×4×2=40個(gè)．
（2）式子（2+2¹+2²+2³+2⁴）×（3+3¹+3²+3³）×（5+5¹）
的展開式就是40個(gè)正因數(shù)．
∴正因數(shù)之和為31×40×6=7440．
點(diǎn)評：我們要求正整數(shù)N正因數(shù)的個(gè)數(shù)，我們可以將N進(jìn)行分解，然后利用N的正因數(shù)為P，再根據(jù)排列組合公式即可得到N的正因數(shù)的個(gè)數(shù)．