Question

已知橢圓 

x2

a2

+

y2

b2

=1過定點A（1，0），且焦點在x軸上，橢圓與曲線|y|=x的交點為B、C．現(xiàn)有以A為焦點，過B，C且開口向左的拋物線，其頂點坐標(biāo)為M（m，0），當(dāng)橢圓的離心率滿足 

2

3

＜e2＜1時，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：由橢圓過定點A（1，0），知a=1 ， c=

1-b2

，e=

1-b2

，由

2

3

＜e2＜1，知0＜b＜

3

3

．由對稱性知，所求拋物線只要過橢圓與射線y=x（x≥0）的交點，就必過橢圓與射線y=-x（x≥0）的交點．由此能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：∵橢圓 

x2

a2

+

y2

b2

=1過定點A（1，0），
∴a=1 ， c=

1-b2

，e=

1-b2

，
∵

2

3

＜e2＜1，∴

2

3

＜1-b2＜1，
∴0＜b＜

3

3

．
由對稱性知，所求拋物線只要過橢圓與射線y=x（x≥0）的交點，就必過橢圓與射線y=-x（x≥0）的交點．
聯(lián)立方程 

y=x (x≥0) x2+ y2 b2 =1

，
解得 x=y=

b

1+b2

．
∵0＜b＜

3

3

，
∴0＜x＜

1

2

．
設(shè)拋物線方程為：y²=-2p（x-m），p＞0，m＞1．
∵

p

2

=m-1，
∴y²=4（1-m）（x-m）①
把 y=x，0＜x＜

1

2

代入①，
得x²+4（m-1）x-4m（m-1）=0，m＞1．
令f（x）=x²+4（m-1）x-4m（m-1），m＞1，
∵f（x）在(0 ， 

1

2

)內(nèi)有根且單調(diào)遞增，
∴

f(0)=-4m(m-1)＜0 f( 1 2 )= 1 4 +2(m-1)-4m(m-1)＞0

即

m＞1 或 m＜0 3- 2 4 ＜ m ＜ 3+ 2 4

綜上得實數(shù)m的取值范圍：{m|1＜m＜

3+ 2

4

}．

點評：本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．