Question

已知曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差是1．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點K（-1，0）的直線l與C相交于A、B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點為D．證明：點F在直線BD上．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)C上每一點到點F（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離，利用拋物線的定義，可求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)出A，B，D的坐標(biāo)，l的方程代入y²=4x，利用韋達(dá)定理，進而確定直線BD的方程，由此即可證得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：根據(jù)題意知，C上每一點到點F（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離．
所以，曲線C上每一點在開口向右的拋物線上，…2分
其中p=2，所以拋物線方程為y²=4x．
又因為曲線C在y軸的右邊，所以，曲線C的方程為y²=4x（x＞0）．…2分
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴D（x₁，-y₁），l的方程為x=my-1（m≠0）．
將x=my-1代入y²=4x，整理得y²-4my+4=0，
∴從而y₁+y₂=4m，y₁y₂=4．…2分
直線BD的方程為，即，…2分
令y=0，得，所以點F（1，0）在直線BD上．…2分．
點評：本題考查拋物線的定義，考查曲線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確運用拋物線的定義，直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解．