Question

已知曲線C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差是1．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)K（-1，0）的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D．證明：點(diǎn)F在直線BD上．

Answer 1

（Ⅰ）解：根據(jù)題意知，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離．
所以，曲線C上每一點(diǎn)在開(kāi)口向右的拋物線上，
其中p=2，所以拋物線方程為y²=4x．
又因?yàn)榍�線C在y軸的右邊，所以，曲線C的方程為y²=4x（x＞0）．
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴D（x₁，-y₁），l的方程為x=my-1（m≠0）．
將x=my-1代入y²=4x，整理得y²-4my+4=0，
∴從而y₁+y₂=4m，y₁y₂=4．
直線BD的方程為，即，
令y=0，得，所以點(diǎn)F（1，0）在直線BD上．
分析：（Ⅰ）根據(jù)C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離，利用拋物線的定義，可求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)出A，B，D的坐標(biāo)，l的方程代入y²=4x，利用韋達(dá)定理，進(jìn)而確定直線BD的方程，由此即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義，考查曲線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用拋物線的定義，直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解．