Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的最大值；

（2）若函數(shù)存在兩個零點，證明：．

Answer 1

【答案】（1）最大值是；（2）證明見解析．

【解析】

（1）求出導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性后可得最大值．

（2）由（1）知兩個零點，，，零點間關(guān)系是，變形為，引入變量，則，，，要證的不等式等價變形為，，即證，（），為此引入新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性為減函數(shù)，則可證得結(jié)論成立，這里需要多次求導(dǎo)變形再求導(dǎo)才可證明．

（1）函數(shù)定義域是，由題意，

當(dāng)時，，遞增，當(dāng)時，，遞減，

所以時，取得唯一的極大值也是最大值．

（2）由（1），即時，有兩個零點，（），則，，

由，得，

令，則，，，

，顯然成立，

要證，即證，

只要證，即證，（），

令，，

，，

令，則，，

令，

，，

令，

，時，是減函數(shù)，所以時，，

所以是減函數(shù)，，即（），

所以是減函數(shù)，，所以，在時是減函數(shù)，

，即，所以在上是減函數(shù)，，

所以，即，

綜上，成立．