Question

已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。
（Ⅰ）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
（Ⅱ）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，證明：.

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；
當(dāng)時(shí)， .（Ⅱ）的范圍為.

解析試題分析：（Ⅰ）易得，再對(duì)分情況確定的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)在上的單調(diào)性即可得在上的最小值.（Ⅱ）設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，注意到.聯(lián)系到函數(shù)的圖象可知，導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，即在區(qū)間內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn). 由（Ⅰ）可知，當(dāng)及時(shí)，在內(nèi)都不可能有兩個(gè)零點(diǎn).所以.此時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，且必有.由得：，代入這兩個(gè)不等式即可得的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）
①當(dāng)時(shí)，，所以.
②當(dāng)時(shí)，由得.
若，則；若，則.
所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以.
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以.
（Ⅱ）設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，則由可知，
在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減.
則不可能恒為正，也不可能恒為負(fù).
故在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn).
同理在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn).
所以