Question

已知(x

x

+

2

3 x

)n的展開式中，前三項的二項式系數(shù)之和為37．
（1）求x的整數(shù)次冪的項；
（2）分別求出展開式中系數(shù)最大的項和二項式系數(shù)最大的項．

Answer 1

分析：（1）利用(x

x

+

2

3 x

)n的展開式中，前三項的二項式系數(shù)之和為37，建立方程求得n，利用展開式的通項，即可求x的整數(shù)次冪的項；
（2）利用二項展開式的通項公式根據(jù)展開式中最大的系數(shù)大于它前面的系數(shù)同時大于它后面的系數(shù)求出展開式中系數(shù)最大的項；據(jù)展開式中間項的二項式系數(shù)最大，可得二項式系數(shù)最大的項．

解答：解：（1）由題意，(x

x

+

2

3 x

)n的展開式的前三項的二項式系數(shù)之和為C_n⁰+C_n¹+C_n²=37
∴n²+n-72=0，∴n=8
∴知(x

x

+

2

3 x

)n的展開式的通項為T_r+1=

C

r 8

x12-

11r

6

當r=0，6時，x的指數(shù)為整數(shù)
∴x的整數(shù)次冪的項有x¹²，28x；
（2）設展開式中第r+1項系數(shù)最大，則

C r 8 ≥ C r-1 8 C r 8 ≥ C r+1 8

∴

7

2

≤r≤

9

2

，∴r=4
∴展開式中系數(shù)最大的項是第5項，為70x

14

3

；
展開式共有9項，據(jù)展開式中間項的二項式系數(shù)最大，可得二項式系數(shù)最大的項是第5項，為70x

14

3

．

點評：本題以二項式為載體，考查考展開式中二項式系數(shù)最大項，考查二項展開式中的系數(shù)最大的項的求法，利用最大的系數(shù)大于它前面的系數(shù)同時大于它后面的系數(shù)是求二項展開式中的系數(shù)最大的項的關鍵