Question

設(shè)點(diǎn)P是雙曲線x2-

y2

3

=1上一點(diǎn)，焦點(diǎn)F（2，0），點(diǎn)A（3，2），使|PA|+

1

2

|PF|有最小值時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

(

21

3

，2)

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意算出雙曲線的離心率e=2，右準(zhǔn)線方程為x=

1

2

．連結(jié)PF，過(guò)P作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，由雙曲線第二定義得|PM|=

1

2

|PF|，從而得出|PA|+

1

2

|PF|=|PA|+|PM|，利用平面幾何知識(shí)可得當(dāng)P、A、M三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PM|=|AM|達(dá)到最小值．由此利用雙曲線的方程加以計(jì)算，可得滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：∵雙曲線x2-

y2

3

=1中，a=1，b=

3

，
∴c=

a2+b2

=2，
可得雙曲線的離心率e=

c

a

=2，右準(zhǔn)線方程為x=

a2

c

即x=

1

2

，
設(shè)右準(zhǔn)線為l，過(guò)P作PM⊥l于M點(diǎn)，連結(jié)PF，
由雙曲線的第二定義，得

|PF|

|PM|

=e=2，可得|PM|=

1

2

|PF|．
∴|PA|+

1

2

|PF|=|PA|+|PM|，
運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P，可得當(dāng)P、A、M三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PM|=|AM|達(dá)到最小值．
此時(shí)經(jīng)過(guò)P、A、M三點(diǎn)的直線與x軸平行，
設(shè)P（m，2），代入雙曲線方程得m2-

22

3

=1，解之得m=

7 3

=

21

3

，得點(diǎn)P（

21

3

，2）．
∴滿足使|PA|+

1

2

|PF|有最小值的點(diǎn)P坐標(biāo)為（

21

3

，2）．
故答案為：(

21

3

，2)

點(diǎn)評(píng)：本題給出定點(diǎn)A與雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)P，求|PA|+

1

2

|PF|有最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．著重考查了雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．