Question

投資生產(chǎn)某種產(chǎn)品，并用廣告方式促銷，已知生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年固定投資為10萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件產(chǎn)品還需投入16萬(wàn)元，又知年銷量W（萬(wàn)件）與廣告費(fèi)x（萬(wàn)元）之間的函數(shù)關(guān)系為W=k-

1

x

（x＞0），且已知投入廣告費(fèi)1萬(wàn)元時(shí)，年銷量為2萬(wàn)件產(chǎn)品．預(yù)計(jì)此種產(chǎn)品年銷售收入M（萬(wàn)元）等于年成本（萬(wàn)元）（年成本中不含廣告費(fèi)用）的150%與年廣告費(fèi)用（萬(wàn)元）的50%的和．
（1）試將年利潤(rùn)y（萬(wàn)元）表示為年廣告費(fèi)x（萬(wàn)元）的函數(shù)；
（2）當(dāng)年廣告費(fèi)為多少萬(wàn)元時(shí)，年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

Answer 1

分析：（1）由已知中年銷量W（萬(wàn)件）與廣告費(fèi)x（萬(wàn)元）之間的函數(shù)關(guān)系為W=k-

1

x

（x＞0），投入廣告費(fèi)1萬(wàn)元時(shí)，年銷量為2萬(wàn)件產(chǎn)品，代入可以求出k值，進(jìn)而得到W的表達(dá)式，進(jìn)而求出結(jié)合年銷售收入，結(jié)合年成本為10+16w+x，根據(jù)利潤(rùn)=收入-成本，即可得到年利潤(rùn)y（萬(wàn)元）表示為年廣告費(fèi)x（萬(wàn)元）的函數(shù)；
（2）根據(jù)（1）中得到的函數(shù)解析式，根據(jù)基本不等式，易得到年廣告費(fèi)為多少萬(wàn)元時(shí)，年利潤(rùn)最大及對(duì)應(yīng)的最大年利潤(rùn)是多少萬(wàn)元．

解答：解：（1）∵W=k-

1

x

 （x＞0），且投入廣告費(fèi)1萬(wàn)元時(shí)，年銷量為2萬(wàn)件產(chǎn)品∴k=3，∴W=3-

1

x

 …（2分）
年銷售收入M=

3

2

(10+16w)+

1

2

x，年成本為10+16w+x 

∴y= 3 2 (10+16w)+ 1 2 x-[(10+16w)+x]   = 1 2 (10+16w-x)

 …（4分）
∴y=

1

2

[58-(

16

x

+x)] …（8分）
（2）y=

1

2

[58-(

16

x

+x)]≤

1

2

(58-2

16 x •x

)=25，…（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)

16

x

=x，即x=4時(shí)，等號(hào)成立…（14分）
所以當(dāng)x=4時(shí)，y_max=25 …（15分）
答：當(dāng)年廣告費(fèi)為4萬(wàn)元時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)是25萬(wàn)元．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，其中根據(jù)已知條件分別計(jì)算年銷售收入的表達(dá)式工，及年成本的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)利潤(rùn)=收入-成本，得到年利潤(rùn)的表達(dá)式是解答本題的關(guān)鍵．