Question

【題目】已知橢圓的焦距為2，過(guò)右焦點(diǎn)和短軸一個(gè)端點(diǎn)的直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）由題意，根據(jù)過(guò)右焦點(diǎn)和短軸一個(gè)端點(diǎn)的直線的斜率為，求出，求出，即得橢圓的方程；

（2）設(shè).把直線的方程代入橢圓的方程，韋達(dá)定理.寫出直線和直線的方程，求出.根據(jù)，求出的值，即可證明直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

（1）由題意，得橢圓的半焦距，右焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)，所以直線的斜率，解得，由，得，所以橢圓的方程為.

（2）設(shè).

聯(lián)立得，

，，.

直線，令得，即；

同理可得.

因?yàn)?/span>，所以；

，解之得只有滿足題意，所以直線方程為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).