Question

如圖，設(shè)由拋物線C：x²=4y與過它的焦點(diǎn)F的直線l所圍成封閉曲面圖形的面積為S（陰影部分）．
（1）設(shè)直線l與拋物線C交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，直線l的斜率為k，試用k表示x₂-x₁；
（2）求S的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線C的方程可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），進(jìn)而可設(shè)直線l的方程，與拋物線聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，進(jìn)而根據(jù)求得x₂-x₁．
（2）根據(jù)化簡整理得，令，進(jìn)而根據(jù)t的范圍求得S的范圍，得到最小值．
解答：解：（1）可得點(diǎn)F（0，1），
設(shè)直線l的方程為y=kx+1直線l與拋物線C交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，得x²-4k-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，又x₁＜x₂，
∴．
（2）所求的面積：
=
=
=
=
令，則t≥1，有k²=t²-1，
S==
在[1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，∴當(dāng)t=1，即k=0時，S有最小值．
點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用及拋物線與直線的關(guān)系．常需要把直線方程和拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理解決問題．