Question

8．如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=．DO⊥AB于O點，OA=OB，DO=2，曲線E過C點，動點P在E上運動，且保持|PA|+|PB|的值不變．
（1）建立適當?shù)淖鴺讼�，求曲線E的方程；
（2）過D點的直線L與曲線E相交于不同的兩點M、N且M在D、N之間，設(shè)=λ，試確定實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立平面直角坐標系，如圖所示∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+，可得動點P的軌跡是橢圓，由此易得橢圓的方程；

（2）設(shè)直線L的方程為y=kx+2，代入曲線E的方程x²+2y²=2，得（2k²+1）x²+8kx+6=0設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，再由過D點的直線L可能是Y軸也可能斜率存在分為兩類，由=λ對實數(shù)λ的取值范圍進行討論即可得到所求的答案
解答：解：（1）建立平面直角坐標系，如圖所示∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+
∴動點P的軌跡是橢圓
∴a=，b=1，c=1
∴曲線E的方程是 ．
（2）設(shè)直線L的方程為y=kx+2，代入曲線E的方程x²+2y²=2，得（2k²+1）x²+8kx+6=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則

i）  L與y軸重合時，=λ=
ii）  L與y軸不重合時，由①得   
 又∵λ==，
∵x₂＜x₁x₁＞0
∴0＜λ＜1，
∴
∵
而
∴6＜＜8
∴4＜＜
∴4＜＜，即，
由解得λ的取值范圍是[，1）．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合題，考查了根與系數(shù)的關(guān)系橢圓的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是認真審題準確轉(zhuǎn)化題設(shè)中的關(guān)系，本題綜合性強，符號計算運算量大，解題時要認真嚴謹避免馬虎出錯．