Question

（2012•東城區(qū)模擬）已知函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

 （x∈R）），給出下列命題：
（1）對?∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立；
（2）函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）；
（3）若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
（4）函數(shù)g（x）=f（x）-x在R上有三個(gè)零點(diǎn)．
其中正確命題的序號為

（1）、（2）、（3）

（把所有正確命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：命題（1）可直接代入驗(yàn)證；
命題（2）分x=0和x≠0求解，當(dāng)x≠0時(shí)，分子分母同時(shí)除以x可求；
命題（3）用單調(diào)性定義證明函數(shù)在R上為單調(diào)函數(shù)；
命題（4）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，分析在（0，+∞）上函數(shù)是否有零點(diǎn)，則在（-∞，0）隨之判出．

解答：（1）f（-x）=

-x

1+|-x|

=-

x

1+|x|

=-f(x)，所以（1）成立；
（2）當(dāng)x=0時(shí)f（x）=0，因函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

x

1+x

=

1

1+ 1 x

，∵

1

x

＞0，∴1+

1

x

＞1，
∴0＜

1

1+ 1 x

＜1，即0＜f（x）＜1；由對稱性知當(dāng)x＜0時(shí)，-1＜f（x）＜0，又f（0）=0，∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）；
（3）設(shè)x₁＜x₂＜0，則f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+|x1|

-

x2

1+|x2|

=

x1+x1|x2|-x2-x2|x1|

(1+|x1|)(1+|x2|)

=

x1-x2

(1+|x1|)(1+|x2|)

∵x₁＜x₂＜0，∴

x1-x2

(1+|x1|)(1+|x2|)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），所以函數(shù)f（x）在（-∞，0）為單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)在定義域上為單調(diào)函數(shù)，若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
（4）當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）-x=0得，

x

1+x

-x=0，此時(shí)方程無解，由對稱性知，當(dāng)x＜0時(shí)，方程也無解，又f（0）=0，∴函數(shù)g（x）=f（x）-x在R上有一個(gè)零點(diǎn)0，所以④不正確．
故答案為①②③．

點(diǎn)評：本題考查了命題真假的判斷，解答的關(guān)鍵是把原函數(shù)分段，在（0，+∞）上判出函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點(diǎn)情況，根據(jù)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，運(yùn)用對稱性得到函數(shù)在整個(gè)定義域上的零點(diǎn)情況．