Question

已知圓x²+y²-6x-8y+21=0和直線kx-y-4k+3=0．
（1）求證：不論k取什么值，直線和圓總有兩個不同的公共點；
（2）求當k取何值時，直線被圓截得的弦最短，并求這最短弦的長．

Answer 1

分析：（1）將圓的方程化為標準方程，找出圓心與半徑r，利用點到直線的距離公式表示出圓心到已知直線的距離d，要證直線與圓有兩個不同的公共點得到直線與圓相交，即d小于r，即證

|k+1|

1+k2

＜2，配方后即可得證；
（2）圓心到直線的距離最大，此時直線被圓截得的弦最短，表示出的d變形后，利用基本不等式求出d的最大值，以及此時k的值，即可確定出最短的弦長．

解答：解：（1）證明：將圓的方程化為標準方程得：（x-3）²+（y-4）²=4，
∴圓心坐標為（3，4），半徑r=2，
圓心到直線kx-y-4=0的距離d=

|3k-4-4k+3|

1+k2

=

|k+1|

1+k2

，
∵3k²-2k+3=3（k-

1

3

）²+

8

3

＞0，
∴（k+1）²＜4（1+k²），即

|k+1|

1+k2

＜2=r，
則直線與圓相交，即直線與圓總有兩個不同的公共點；
（2）由于當圓心到直線的距離最大時，直線被圓截得的弦最短，
而d=

|k+1|

1+k2

=

(k+1)2 k2+1

=

1+ 2k k2+1

≤

1+ k2+1 k2+1

=

2

，
當且僅當k=1時取等號，即k=1時，d_max=

2

，
則當k=1時，直線被圓截得的弦最短，最短弦長為2

22-( 2 )2

=2

2

．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：點到直線的距離公式，基本不等式的運用，圓的標準方程，垂徑定理，以及勾股定理，直線與圓相交時，常常根據垂徑定理由垂直得中點，然后由弦心距，圓的半徑及弦長的一半，利用勾股定理來解決問題．