Question

兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計劃在兩縣城外，以AB為直徑的半圓弧AB上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的距離有關(guān)，對城A和城B的總影響度為對城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為，統(tǒng)計調(diào)查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k，當(dāng)垃圾處理廠建在AB的中點(diǎn)時，對A和城B的總影響度為0.065。



（1）將表示成的函數(shù)；
（2）判斷弧AB上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最��？若存在，求出該點(diǎn)到城A的距離；若不存在，說明理由。

Answer 1

(1) (2) 在弧AB存在C點(diǎn)使得交點(diǎn)在此處的垃圾處廠對A、B影響最小，該點(diǎn)距A的距離是km

試題分析：解：（1）如圖由題意知
             3
其中當(dāng)
                                   5
           6
（2）
              9
令

            11

	－	0	＋

                13
答：在弧AB存在C點(diǎn)使得交點(diǎn)在此處的垃圾處廠對A、B影響最小，該點(diǎn)距A的距離是km。                 14
點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是能夠利用導(dǎo)數(shù)的符號來研究函數(shù)單調(diào)性，以及函數(shù)的最值的求解，屬于基礎(chǔ)題。