Question

已知橢圓和拋物線有公共焦點(diǎn)F(1,0), 的中心和的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)M（4，0）的直線與拋物線分別相交于A,B兩點(diǎn).

（1）寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若，求直線的方程；

（3）若坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在拋物線上，直線與橢圓有公共點(diǎn)，求橢圓的長軸長的最小值.

Answer 1

解：（1）由題意，拋物線的方程為：，                                                       

（2）設(shè)直線的方程為：.

聯(lián)立，消去，得 ， 

顯然，設(shè)，則     ① ，     ②                   又，所以      ③                                     

由①② ③消去，得， 故直線的方程為或 .        

（3）設(shè)，則中點(diǎn)為， 因?yàn)?sub>兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，

所以，即，解之得，                   

將其代入拋物線方程，得：，所以，.  

聯(lián)立 ，消去，得：.                  

由，得

，即，                          

將，代入上式并化簡，得，

所以，即，因此，橢圓長軸長的最小值為.