Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩點(diǎn)、的距離之和等于，設(shè)點(diǎn)的軌跡為，斜率為的直線過(guò)點(diǎn)，且與軌跡交于、兩點(diǎn).

（1）寫(xiě)出軌跡的方程；

（2）如果，求的值；

（3）是否存在直線，使得在直線上存在點(diǎn)，滿足為等邊三角形？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在直線:，使得在直線上存在點(diǎn)，滿足為等邊三角形；

【解析】

(1)根據(jù)點(diǎn)到兩點(diǎn)、的距離之和等于,且,可知軌跡為橢圓,由,求得,從而可得橢圓方程;

(2)聯(lián)立直線與橢圓,根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)與已知弦長(zhǎng)相等,可求出直線斜率;

(3) 將為等邊三角形,轉(zhuǎn)化為且,利用(2)的弦長(zhǎng)以及兩點(diǎn)間的距離公式可求得答案.

(1) 因?yàn)辄c(diǎn)到兩點(diǎn)、的距離之和等于,且,

所以點(diǎn)的軌跡是,以、為焦點(diǎn)的橢圓,且,

所以,

所以軌跡的方程為:.

(2) 直線的方程為:,將其代入到,

整理得,

設(shè),

則,,

所以

,

所以,即,所以.

(3)假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意,

設(shè)的中點(diǎn)為,

由(1)知,

, ,

因?yàn)?/span>為等邊三角形,所以且,

所以, ,

所以,化簡(jiǎn)得,所以,

所以存在直線:，使得在直線上存在點(diǎn)，滿足為等邊三角形