Question

設(shè)f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）．若|x|≥2時(shí)，f（x）≥0，且f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值為1，求b²+c²的最大值和最小值．

Answer 1

分析：根據(jù)題意函數(shù)圖象為開口向上的拋物線，且f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值只能在閉端點(diǎn)取得，故有f（2）≤f（3）=1，從而b≥-5且c=-3b-8，再根據(jù)若|x|≥2時(shí)，f（x）≥0，可確定b的范圍，進(jìn)而可求b²+c²的最大值和最小值．

解答：解：由題意函數(shù)圖象為開口向上的拋物線，且f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值只能在閉端點(diǎn)取得，
故有f（2）≤f（3）=1，從而b≥-5且c=-3b-8．
若f（x）=0有實(shí)根，則△=b²-4c=b²+12b+32≥0，
∵|x|≥2時(shí)，f（x）≥0，
∴在區(qū)間[-2，2]有

f(-2)≥0 f(2)≥0 -2≤ b 2 ≤2

即

4-2b+c≥0 4+2b+c≥0 -4≤b≤4

消去c，解出

b≤- 4 5 b≤-4 -4≤b≤4

，
即b=-4，這時(shí)c=4，且△=0．
若f（x）=0無(wú)實(shí)根，則△=b²-4c＜0，將c=-3b-8代入解得-8＜b＜-4．
綜上-5≤b≤-4．
所以b²+c²=b²+（-3b-8）²=10b²+48b+64=10(b+

12

5

)2+

32

5

，
∴b²+c²在[-5，-4]上單調(diào)遞減
故(b2+c2)min=32，(b2+c2)max=74．

點(diǎn)評(píng)：本題是典型的二次函數(shù)最值問題，解題需要靈活運(yùn)用初等數(shù)學(xué)思想，包括數(shù)形結(jié)合，分類討論，函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化且探究意識(shí)要強(qiáng)．