Question

已知tan(

π

4

-α)=

1

3

，α∈(0，

π

4

)．
（1）求f(α)=

sin2α-2cos2α

1+tanα

的值；
（2）若β∈(0，

π

2

)，且sin(

3π

4

+β)=

5

5

，求α+β的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的角的正切值和角的范圍，寫(xiě)出角α的正切值，把所給的函數(shù)式進(jìn)行恒等變形，根據(jù)二倍角公式和同角的三角函數(shù)關(guān)系，整理出只含有角的正切值的形式，得到結(jié)果．
（2）本題需要進(jìn)行角的變換，把要求的角寫(xiě)成β=(β+

3π

4

)-

3π

4

，根據(jù)所給的角的范圍和同角的三角函數(shù)的關(guān)系，得到結(jié)果．

解答：解：（1）∵tan(

π

4

-α)=

1

3

，α∈(0，

π

4

)，
∴tanα=

1

2

．
∴f(α)=

sin2α-2cos2α

1+tanα

=

2sinα•cosα-2cos2α

(1+tanα)(cos2α+sin2α)

=

2tanα-2

(1+tanα)(1+tan2α)

=-

8

15

．…7
（2）∵β∈(0，

π

2

)，且sin(

3π

4

+β)=

5

5

∴

3π

4

＜

3π

4

+β＜

5π

4

∴cos(

3π

4

+β)=

-2

5

，
∴sinβ=sin[(β+

3π

4

)-

3π

4

]=sin(β+

3π

4

)cos

3π

4

-cos(β+

3π

4

)sin

3π

4

=

1

10

，
∴cosβ=

3

10

．∴tanβ=

1

3

．
∴tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

=1，
又∵α+β∈(0，

π

2

)，
∴α+β=

π

4

．   …14

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于條件中所給的角的范圍進(jìn)行分析，這樣才可以根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系求出要用的結(jié)果．