Question

有一塊邊長為4的正方形鋼板，現(xiàn)對其進行切割、焊接成一個長方體形無蓋容器(切、焊損耗忽略不計）.有人應(yīng)用數(shù)學知識作了如下設(shè)計:如圖(a)，在鋼板的四個角處各切去一個小正方形，剩余部分圍成一個長方體，該長方體的高為小正方形邊長，如圖(b).

(1)請你求出這種切割、焊接而成的長方體的最大容積V₁；

(2)由于上述設(shè)計存在缺陷(材料有所浪費），請你重新設(shè)計切、焊方法，使材料浪費減少，而且所得長方體容器的容積V₂＞V₁.

Answer 1

解:(1)設(shè)切去正方形邊長為x,則焊接成的長方體的底面邊長為4-2x,高為x,

    ∴V₁=(4-2x)²·x=4(x³-4x²+4x)(0＜x＜2).

    ∴V₁′=4(3x²-8x+4).

    令V₁′=0,得x₁=,x₂=2(舍去).

    而V₁′=12(x-)(x-2),

    又當x＜時，V₁′＞0;當＜x＜2時，V₁′＜0,

    ∴當x=時，V₁取最大值.

    (2)重新設(shè)計方案如下:

    如圖①，在正方形的兩個角處各切下一個邊長為1的小正方形；如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；如圖③,將圖②焊成長方體容器.

    新焊長方體容器底面是一長方形，長為3，寬為2，此長方體容積V₂=3×2×1=6，顯然V₂＞V₁.

    故第二種方案符合要求.