Question

已知向量

a

=(1，

2

)，

b

=(-

2

，1)，若存在正數(shù)k和t，使得向量

c

=

a

+(t2+1)

b

與

d

=-k

a

+

1

t

b

互相垂直，則k的最小值是

2

．

Answer 1

分析：先求出

c

和 

d

 的坐標(biāo)，根據(jù)兩個(gè)平面向量垂直的性質(zhì)可得

c

•

d

=0，化簡(jiǎn)可得 k=t+

1

t

，再利用基本不等式求得k的最小值．

解答：解：由題意可得

c

=

a

+(t2+1)

b

=（1-

2

t²-

2

，

2

+t²+1），

d

=-k

a

+

1

t

b

=（-k-

2

t

，-

2

k+

1

t

）．
∵

c

⊥

d

，∴

c

•

d

=（1-

2

t²-

2

）（-k-

2

t

）+（

2

+t²+1）（-

2

k+

1

t

）=-3（k-t-

1

t

）=0，
∴k=t+

1

t

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)，取等號(hào)，故k的最小值為2，
故答案為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)平面向量垂直的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，
屬于中檔題．