Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax+2a-1（a為實(shí)常數(shù)）．
（1）若a=0，求函數(shù)y=|f（x）|的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)f（x）在區(qū)間[1，2]的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式；
（3）設(shè)h（x）=

f(x)

x

，若函數(shù)h（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²-1，結(jié)合函數(shù)y=|f（x）|的圖象可得它的增區(qū)間．
（2）函數(shù)f（x）=x²-ax+2a-1的對稱軸為 x=

a

2

，分當(dāng)

a

2

≤1時(shí)、當(dāng)1＜

a

2

＜2時(shí)、和當(dāng)

a

2

≥2時(shí)三種情況，分別求得g（a），綜合可得結(jié)論．
（3）根據(jù) h(x)=

f(x)

x

=x+

2a-1

x

-a，再分當(dāng)2a-1≤0和當(dāng)2a-1＞0時(shí)兩種情況，根據(jù)h（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，分別求得a的范圍，再取并集．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²-1，則結(jié)合y=|f（x）|的圖象可得此函數(shù)在（-1，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）函數(shù)f（x）=x²-ax+2a-1的對稱軸為 x=

a

2

，當(dāng)

a

2

≤1時(shí)，即a≤2，g（a）=f（1）=a；
當(dāng)1＜

a

2

＜2時(shí)，即2＜a＜4，g(a)=f(

a

2

)=-

a2

4

+2a-1；
當(dāng)

a

2

≥2時(shí)，即a≥4，g（a）=f（2）=3；
綜上：g(a)=

a，a≤2 - a2 4 +2a-1，2＜a＜4 3，a≥2.

．
（3）∵h(x)=

f(x)

x

=x+

2a-1

x

-a，
當(dāng)2a-1≤0，即a≤

1

2

，h（x）是單調(diào)遞增的，符合題意．
當(dāng)2a-1＞0，即a＞

1

2

時(shí)，h（x）在(0，

2a-1

]單調(diào)遞減，在(

2a-1

，+∞)單調(diào)遞增．
令

2a-1

≤1，求得

1

2

＜a≤1．
綜上所述：a≤1．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．