Question

【題目】已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，點(diǎn)．

（Ⅰ）經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，求．

（Ⅱ）問是否存在直線與橢圓交于兩點(diǎn)、且，若存在，求出直線斜率的取值范圍；若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線斜率的取值范圍是.

【解析】分析：（Ⅰ）求直線與圓錐曲線的相交弦長(zhǎng)，可求兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)。根據(jù)條件可求得直線的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立得求得兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)。進(jìn)而用兩點(diǎn)間距離公式可得。（Ⅱ）要求是否存在直線，可設(shè)出直線的方程，兩個(gè)交點(diǎn)，。中點(diǎn)，由，可得，進(jìn)而得。所以需求點(diǎn)的坐標(biāo)。將直線與橢圓聯(lián)立可得：，消去得，則由，可得 ①

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，根據(jù)點(diǎn)在直線上，可得。進(jìn)而可得�；�簡(jiǎn)可得，代入可得，化簡(jiǎn)可解得。

詳解：（Ⅰ）經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為，

所以直線的方程為，

聯(lián)立，解得或，

∴．

（Ⅱ）設(shè)直線，，，

將直線與橢圓聯(lián)立可得：

，消去得，

∴，

∴ ① ，

∴，，

設(shè)中點(diǎn)，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴代入①可得：，

∴，解得．

故直線斜率的取值范圍是．