Question

（2012•湖南）已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記A（n）=a₁+a₂+…+a_n，B（n）=a₂+a₃+…+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+…+a_n+2，n=1，2，…．
（1）若a₁=1，a₂=5，且對任意n∈N^*，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）證明：數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意n∈N^*，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）由于對任意n∈N^*，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，可得到B（n）-A（n）=C（n）-B（n），即a_n+1-a₁=a_n+2-a₂，整理即可得數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，從而可得a_n．
（2）必要性：由數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，可證得即

B(n)

A(n)

=

C(n)

B(n)

=q，即必要性成立；
充分性：若對任意n∈N^*，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列，可得a_n+2-qa_n+1=a₂-qa₁．由n=1時(shí)，B（1）=qA（1），即a₂=qa₁，從而a_n+2-qa_n+1=0，即充分性成立，于是結(jié)論得證．

解答：解：（1）∵對任意n∈N^*，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，
∴B（n）-A（n）=C（n）-B（n），
即a_n+1-a₁=a_n+2-a₂，亦即a_n+2-a_n+1=a₂-a₁=4．
故數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，于是a_n=1+（n-1）×4=4n-3．
（2）證明：（必要性）：若數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，對任意n∈N^*，有a_n+1=a_nq．由a_n＞0知，A（n），B（n），C（n）均大于0，于是

B(n)

A(n)

=

a2+a3+…+an+1

a1+a2+…+an

=

q(a1+a2+…+an)

a1+a2+…+an

=q，

C(n)

B(n)

=

a3+a4+…+an+2

a2+a3+…+an+1

=

q(a2+a3+…+an+1)

a2+a3+…+an+1

=q，
即

B(n)

A(n)

=

C(n)

B(n)

=q，
∴三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列；
（充分性）：若對任意n∈N^*，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列，則
B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），
于是C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）]，即a_n+2-a₂=q（a_n+1-a₁），亦即a_n+2-qa_n+1=a₂-qa₁．
由n=1時(shí)，B（1）=qA（1），即a₂=qa₁，從而a_n+2-qa_n+1=0．
∵a_n＞0，
∴

an+2

an+1

=

a2

a1

=q．故數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁，公比為q的等比數(shù)列．
綜上所述，數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意n∈N^*，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查充要條件的證明，考查等比關(guān)系的確定，突出化歸思想，邏輯思維與綜合運(yùn)算能力的考查，屬于難題．