Question

【題目】在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.

已知等比數(shù)列的公比，前n項(xiàng)和為，若_________，數(shù)列滿足，.

（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并證明.

Answer 1

【答案】選擇見解析；（1），；（2）；證明見解析.

【解析】

（1）若選擇①，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求得，再令中的，可得，進(jìn)而可得數(shù)列，的通項(xiàng)公式；選擇②，通過對(duì)中的取1和2可得和，進(jìn)而可得，可得數(shù)列，的通項(xiàng)公式；若選擇③，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式列方程求得，再令中的，可得，進(jìn)而可得數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（2）利用裂項(xiàng)相消法可求得，觀察可得結(jié)果.

解析：選擇①，

（1）由已知得，

解得或（舍去，∵），

又∵，，

則，解得，

∴，

則；

（2）

∴.

選擇②，

當(dāng)時(shí)，，得，

當(dāng)時(shí)，，又，得，

則，，

又∵，

則；

（2）

∴.

選擇③，

，

當(dāng)時(shí)，，則，舍去；

當(dāng)時(shí)，，解得（負(fù)值舍去），

又∵，，

則，解得，

∴，

則；

（2）

∴.