Question

已知函數(shù)f（x）=2sinx+1．
（Ⅰ）設ω為大于0的常數(shù)，若f（ωx）在區(qū)間[-

π

2

，

2π

3

]上單調(diào)遞增，求實數(shù)ω的取值范圍；
（Ⅱ）設集合A={x|

π

6

≤x≤

2π

3

}，B={x||f（x）-m|＜2}，若A∪B=B，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，f（ωx）=2sinωx+1，由ωx∈[-

π

2

，

π

2

]，ω＞0，可得x∈[-

π

2ω

，

π

2ω

]，利用f（ωx）在區(qū)間[-

π

2

，

2π

3

]上單調(diào)遞增，可得不等式組，解不等式組，即可求實數(shù)ω的取值范圍；
（Ⅱ）求出函數(shù)的值域，根據(jù)A∪B=B，可得A⊆B，從而可得不等式組，解不等式，即可求出實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意，f（ωx）=2sinωx+1，由ωx∈[-

π

2

，

π

2

]，ω＞0，可得x∈[-

π

2ω

，

π

2ω

]，
∵f（ωx）在區(qū)間[-

π

2

，

2π

3

]上單調(diào)遞增，
∴

π 2ω ≥ 2 3 π - π 2ω ≤- π 2 ω＞0

，
∴0＜ω≤

3

4

；
（Ⅱ）∵A∪B=B，
∴A⊆B，
∵|f（x）-m|＜2，
∴m-2＜f（x）＜m+2，
∵

π

6

≤x≤

2π

3

，
∴

1

2

≤sinx≤1，
∴2≤f（x）≤3，
∴

m-2＜2 m+2＞3

，
∴-1＜m＜4．

點評：本題考查三角函數(shù)的性質，考查函數(shù)的值域，考查集合知識，考查學生分析解決問題的能力，正確運用正弦函數(shù)的單調(diào)性是關鍵．