Question

如圖，△ABC 為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE=CA=2BD，N 是EA 的中點(diǎn)，求證：
（1）DE=DA；
（2）平面BDN⊥平面ECA；
（3）平面DEA⊥平面ECA．

Answer 1

證明：（1）如圖，取EC中點(diǎn)F，連接DF．
∵EC⊥平面ABC，BD∥CE，得DB⊥平面ABC．


∴DB⊥AB，EC⊥BC．
∵BD∥CE，BD=

1

2

CE=FC，則四邊形FCBD是矩形，
∴DF⊥EC．
又BA=BC=DF，
∴Rt△DEF≌Rt△ABD，所以DE=DA．
（2）取AC中點(diǎn)M，連接MN、MB，∵N是EA的中點(diǎn)，
∴MN=

1

2

EC．由BD=

1

2

EC，且BD⊥平面ABC，可得四邊形
MNBD是矩形，于是DN∥BM．
∵DE=DA，N是EA的中點(diǎn)，∴DN⊥EA．又EA∩MN=M，
∴DN⊥平面ECA，而DN?平面BDN，則平面ECA⊥平面BDN．
（3）∵DN⊥平面ECA，DN?平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA．