Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，若ABCD是平行四邊形．

（1）求證：MN∥平面PAD．
（2）若PA=AD=2a，MN與PA所成的角為30°．求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：取PD的中點(diǎn)E，連接EN、EA，

∵M(jìn)，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，ABCD是平行四邊形，

∴EN AM，∴四邊形ENMA為平行四邊形

∴MN∥AE，

∵M(jìn)N平面PAD，AE平面PAD，

∴MN∥平面PAD

（2）

解：∵E是PD中點(diǎn)，PA=AD=2a，

∴AE是∠PAD的平分線(xiàn)，

∵M(jìn)N與PA所成的角為30°，MN∥AE，∴∠PAE=30°，

∴△PAD是等邊三角形，

∴MN=PE= = a．

【解析】（1）取PD的中點(diǎn)E，連接EN、EA，推導(dǎo)出四邊形ENMA為平行四邊形，從而MN∥AE，由此能證明MN∥平面PAD．（2）推導(dǎo)出△PAD是等邊三角形，MN=PE，由此能求出結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了異面直線(xiàn)及其所成的角和直線(xiàn)與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握異面直線(xiàn)所成角的求法：1、平移法：在異面直線(xiàn)中的一條直線(xiàn)中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線(xiàn)；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線(xiàn)間的關(guān)系；平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行才能正確解答此題．