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        1. 如果對任意一個三角形,只要它的三邊長a,b,c都在函數(shù)f(x)的定義域內,就有f(a),f(b),f(c)也是某個三角形的三邊長,則稱f(x)為“保三角形函數(shù)”.
          (1)判斷下列函數(shù)是不是“保三角形函數(shù)”,并證明你的結論:
          ①f(x)=;    ②g(x)=sinx (x∈(0,π)).
          (2)若函數(shù)h(x)=lnx (x∈[M,+∞))是保三角形函數(shù),求M的最小值.
          【答案】分析:(1)任給三角形,設它的三邊長分別為a,b,c,則a+b>c,不妨假設a≤c,b≤c,我們判斷f(a),f(b),f(c)是否滿足任意兩數(shù)之和大于第三個數(shù),即任意兩邊之和大于第三邊;
          (2)要利用“保三角形函數(shù)”的概念,求M的最小值,首先證明當M≥2時,函數(shù)h(x)=lnx (x∈[M,+∞))是保三角形函數(shù),然后證明當0<M<2<M<2時,H(X)=LNX (x∈[M,+∞))不是保三角形函數(shù),h(x)=lnx (x∈[M,+∞))不是保三角形函數(shù),從而求出所求.
          解答:解:(1)設0<a≤b≤c,a+b>c,欲證明 ,
          只需證明 ,成立.①是“保三角形函數(shù)”;
          ,而sinb+sinc=sina,②不是“保三角形函數(shù)”;
          (2)M的最小值為2
          (i)首先證明當M≥2時,函數(shù)h(x)=lnx (x∈[M,+∞))是保三角形函數(shù).
          對任意一個三角形三邊長a,b,c∈[M,+∞),且a+b>c,b+c>a,c+a>b,
          則h(a)=lna,h(b)=lnb,h(c)=lnc.
          因為a≥2,b≥2,a+b>c,所以(a-1)(b-1)≥1,所以ab≥a+b>c,所以lnab>lnc,
          即lna+lnb>lnc.
          同理可證明lnb+lnc>lna,lnc+lna>lnb.
          所以lna,lnb,lnc是一個三角形的三邊長.
          故函數(shù)h(x)=lnx (x∈[M,+∞),M≥2),是保三角形函數(shù)…13分
          (ii)其次證明當0<M<2<M<2時,H(X)=LNX (x∈[M,+∞))不是保三角形函數(shù),h(x)=lnx (x∈[M,+∞))不是保三角形函數(shù)
          因為0<M<2,所以M+M=2M>M2,所以M,M,M2是某個三角形的三條邊長,
          而lnM+lnM=2lnM=lnM2,所以lnM,lnM,lnM2不能為某個三角形的三邊長,所以h(x)=lnx 不是保三角形函數(shù).
          所以,當M<2時,h(x)=lnx (x∈[M,+∞))不是保三角形函數(shù).
          綜上所述:M的最小值為2
          點評:要想判斷f(x)為“保三角形函數(shù)”,要經(jīng)過嚴密的論證說明f(x)滿足“保三角形函數(shù)”的概念,但要判斷f(x)不為“保三角形函數(shù)”,僅須要舉出一個反例即可,屬于創(chuàng)新題.
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          如果對任意一個三角形,只要它的三邊長a,b,c都在函數(shù)f(x)的定義域內,就有f(a),f(b),f(c)也是某個三角形的三邊長,則稱f(x)為“保三角形函數(shù)”.
          (1)判斷下列函數(shù)是不是“保三角形函數(shù)”,并證明你的結論:
          ①f(x)=
          x
          ;    ②g(x)=sinx (x∈(0,π)).
          (2)若函數(shù)h(x)=lnx (x∈[M,+∞))是保三角形函數(shù),求M的最小值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          如果對任意一個三角形,只要它的三邊長a,b,c都在函數(shù)f(x)的定義域內,就有f(a),f(b),f(c)也是某個三角形的三邊長,則稱f(x)為“Л型函數(shù)”.則下列函數(shù):①f(x)=
          x
          ;②g(x)=sinx,x∈(0,π);③h(x)=lnx,x∈[2,+∞),其中是“Л型函數(shù)”的序號為
           

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x),如果對任意一個三角形,只要它的三邊長a,b,c都在f(x)的定義域內,就有f(a),f(b),f(c)也是某個三角形的三邊長,則稱f(x)為“保三角形函數(shù)”.在函數(shù)①f1(x)=
          x
          ,②f2(x)=x,③f3(x)=x2中,其中
           
          是“保三角形函數(shù)”.(填上正確的函數(shù)序號)

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          如果對任意一個三角形,只要它的三邊長a,b,c都在函數(shù)f(x)的定義域內,就有f(a),f(b),f(c)也是某個三角形的三邊長,則f(x)均為“V型函數(shù)”.則下列函數(shù):
          ①f(x)=
          x
          ;  ②g(x)=sinx,x∈(0,π);③h(x)=lnx,x∈[2,+∞),其中是“V型函數(shù)”的序號為( 。

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (文)一個函數(shù)f(x),如果對任意一個三角形,只要它的三邊長a,b,c都在f(x)的定義域內,就有f(a),f(b),f(c)也是某個三角形的三邊長,則稱f(x)為“三角形函數(shù)”.
          (1)判斷f1(x)=
          x
          ,f2(x)=x,f3(x)=x2中,哪些是“三角形函數(shù)”,哪些不是,并說明理由;
          (2)如果g(x)是定義在R上的周期函數(shù),且值域為(0,+∞),證明g(x)不是“三角形函數(shù)”;
          (3)若函數(shù)F(x)=sinx,x∈(0,A),當A>
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          時,F(xiàn)(x)不是“三角形函數(shù)”.

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