Question

已知過拋物線x²=4y的焦點(diǎn)，斜率為k（k＞0）的直線l交拋物線于A（x₁，y₂），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，且|AB|=8．
（1）求直線l的方程；
（2）若點(diǎn)C（x₃，y₃）是拋物線弧AB上的一點(diǎn)，求△ABC面積的最大值，并求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的方程即可得出焦點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)直線AB的方程y=kx+1，與拋物線方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、利用拋物線的定義可得弦長公式，即可得出k．
（2）設(shè)與直線l平行的直線方程為y=x+m，由題意可知當(dāng)該直線與拋物線相切時(shí)，該切點(diǎn)到直線l的距離最大，利用導(dǎo)數(shù)即可得出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到三角形的面積．

解答：解：（1）拋物線x²=4y的焦點(diǎn)（0，1），
設(shè)直線AB的方程是y=kx+1，
聯(lián)立

y=kx+1 x2=4y

，整理得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，
由拋物線定義得：|AB|=y₁+y₂+2=k（x₁+x₂）+4=8，
∴k²=1，k=±1．
∵k＞0，∴k=1，直線方程為：y=x+1．
（2）設(shè)與直線l平行的直線方程為y=x+m，
由題意可知當(dāng)該直線與拋物線相切時(shí)，該切點(diǎn)到直線l的距離最大，
y′=

1

2

x，令

1

2

x=1，解得x=2．
∴點(diǎn)C（2，1），點(diǎn)C到直線AB距離d=

2

，
(S△ABC)max=

1

2

•

2

•8=4

2

．

點(diǎn)評：熟練掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式等是解題的關(guān)鍵．