Question

已知．
（I）當(dāng)b=-l時(shí)，求證：f（x）＞g（x）；
（II）是否存在實(shí)數(shù)b，使f（x）的最小值是2，若存在求出b的值，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）的最小值，g（x）的最大值，可知f（x）的最小值大于g（x）的最大值，故得證；
（II）求導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)行分類討論，求函數(shù)的最小值，利用f（x）的最小值是2，即可得到結(jié)論．
解答：（I）證明：當(dāng)b=-l時(shí)，f（x）=-x-ln（-x），g（x）=
∵，當(dāng)x∈（-，-1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）＞0
∴f（x）在x∈（-，-1）時(shí)，單調(diào)遞減；在x∈（-1，0）時(shí)，單調(diào)遞增
∴f（x）的最小值為f（-1）=1＞0
∵，當(dāng)x∈[-，0）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，g（x）的最大值為
即f（x）的最小值大于g（x）的最大值
∴當(dāng)b=-l時(shí)，f（x）＞g（x）；
（II）解：f（x）=-ln（-x）+bx，x∈[-，0），f′（x）=b-=
當(dāng)b=0時(shí)，f′（x）=-＞0，∴f（x）_min=f（-）=
當(dāng)b＞0時(shí)，f′（x）=b-＞0，，∴f（x）_min=f（-）=-
當(dāng)b＜0時(shí)，f′（x）=
若，即時(shí)，f′（x）=b-≥0，
∴f（x）_min=f（-）=-
∴
∵
∴
∴，不滿足
故不存在實(shí)數(shù)b，使f（x）的最小值是2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)．