Question

已知．
（I）當b=-l時，求證：f（x）＞g（x）；
（II）是否存在實數(shù)b，使f（x）的最小值是2，若存在求出b的值，若不存在說明理由．

Answer 1

（I）證明：當b=-l時，f（x）=-x-ln（-x），g（x）=
∵，當x∈（-，-1）時，f′（x）＜0，當x∈（-1，0）時，f′（x）＞0
∴f（x）在x∈（-，-1）時，單調遞減；在x∈（-1，0）時，單調遞增
∴f（x）的最小值為f（-1）=1＞0
∵，當x∈[-，0）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，g（x）的最大值為
即f（x）的最小值大于g（x）的最大值
∴當b=-l時，f（x）＞g（x）；
（II）解：f（x）=-ln（-x）+bx，x∈[-，0），f′（x）=b-=
當b=0時，f′（x）=-＞0，∴f（x）_min=f（-）=
當b＞0時，f′（x）=b-＞0，，∴f（x）_min=f（-）=-
當b＜0時，f′（x）=
若，即時，f′（x）=b-≥0，
∴f（x）_min=f（-）=-
∴
∵
∴
∴，不滿足
故不存在實數(shù)b，使f（x）的最小值是2．
分析：（I）求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調性，可得f（x）的最小值，g（x）的最大值，可知f（x）的最小值大于g（x）的最大值，故得證；
（II）求導函數(shù)，進行分類討論，求函數(shù)的最小值，利用f（x）的最小值是2，即可得到結論．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，綜合性強．