Question

已知點(diǎn)P，A，B，C是球O表面上的四個(gè)點(diǎn)，且PA，PB，PC兩兩成60°角，PA=PB=PC=4cm，則球的表面積為

 

cm²．

Answer 1

分析：根據(jù)條件判斷四面體是正四面體，利用正四面體構(gòu)造正方體，則正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直徑，求出直徑即可求出球的表面積．

解答：解：∵點(diǎn)P，A，B，C是球O表面上的四個(gè)點(diǎn)，且PA，PB，PC兩兩成60°，PA=PB=PC=4cm，
∴AB=BC=CA=PA=4cm，
即四面體是正四面體，利用正四面體構(gòu)造正方體，
則正方體的對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直徑，
∵PA=PB=PC=4cm，
∴正方體的棱長(zhǎng)為2

2

cm，
∴正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為

3

•2

2

=2

6

cm，
設(shè)球的半徑為R，
則2R=2

6

，
∴R=

6

，
∴球的表面積為：4πR²=4π×(

6

)2=24π （cm²）
故答案為：24π．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正四面體與球的位置關(guān)系，以及球的表面積的求法，利用正四面體構(gòu)造正方體，利用正方體和外接球的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力轉(zhuǎn)化思想以及空間想象能力．