Question

已知點(diǎn)P，A，B，C，D是球O表面上的點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長為2正方形．若PA=2

2

，則球O的體積為

32

3

π

．

Answer 1

分析：由點(diǎn)P，A，B，C，D是球O表面上的點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，將P，A，B，C，D補(bǔ)全為長方體ABCD-A′B′C′D′，讓P與A′重合，則球O為該長方體的外接球，長方體的對角線PC即為球O的直徑．由此能求出球O的體積．

解答：解：∵點(diǎn)P，A，B，C，D是球O表面上的點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，
∴將P，A，B，C，D補(bǔ)全為長方體ABCD-A′B′C′D′，
讓P與A′重合，則球O為該長方體的外接球，長方體的對角線PC即為球O的直徑．
∵ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2

2

，
∴PC²=AP²+AC²=8+8=16，
∴2R=4，R=OP=2，
球O的體積為V=

4

3

×π×23=

32

3

π．
故答案為：

32

3

π．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，考查球內(nèi)接多面體的應(yīng)用，“補(bǔ)形”是關(guān)鍵，考查分析、轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．