Question

求證：（1）n≥0，試用分析法證明，

n+2

-

n+1

＜

n+1

-

n

，
（2）當(dāng)a、b、c為正數(shù)時，（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）≥9．
相等的非零實數(shù)．用反證法證明三個方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根．

Answer 1

分析：（1）要證

n+2

-

n+1

＜

n+1

-

n

成立，即證

n+2

+

n

＞2

n+1

，即證  (

n+2

+

n

)2＞(2

n+1

)2，即證n+1＞

n2+2n

，即證 （n+1）²＞n²+2n，即證1＞0．
 （2）假設(shè)三個方程中都沒有兩個相異實根，則他們的判別式都小于0，相加可得（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≤0 ①，
由題意a、b、c互不相等，可得①式不能成立，矛盾．

解答：證明：（1）要證

n+2

-

n+1

＜

n+1

-

n

成立，即證

n+2

+

n

＞2

n+1

，
即證  (

n+2

+

n

)2＞(2

n+1

)2，即證n+1＞

n2+2n

，即證 （n+1）²＞n²+2n，即n²+2n+1＞n²+2n，
即證1＞0，而1＞0 顯然成立，所以原命題成立．
（2）證明：假設(shè)三個方程中都沒有兩個相異實根，則△₁=4b²-4ac≤0，△₂=4c²-4ab≤0，
△₃=4a²-4bc≤0．  相加有  a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+c²-2ac+a²≤0，
（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≤0．①由題意a、b、c互不相等，∴①式不能成立．
∴假設(shè)不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根．

點評：本題考查用分析法證明不等式，用反證法證明不等式，用反證法證明不等式時，推出矛盾，是解題的關(guān)鍵．