Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x-1
（1）求f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥tx²恒成立，求t的取值范圍；
（3）設(shè)n∈N^*，求證：

n

k=1

(

k

n

)n＜2．

Answer 1

分析：（1）f'（x）=e^x-1，f（1）=e-2，由此能求出f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．
（2）設(shè)g（x）=f（x）-tx²（x≥0），則有g(shù)（0）=0，即需g_min（x）≥g（0），g'（x）=f'（x）-2tx=e^x-2tx-1（x≥0），令h（x）=e^x-2tx-1（x≥0），則有h'（x）=e^x-2t（x≥0）．由此進(jìn)行分類討論，能求出t的取值范圍．
（3）當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）=e^x-1＞0，f（x）≥0恒成立，故e^x≥1+x，由此能夠證明

n

k=1

(

k

n

)n＜2．

解答：（1）解：f'（x）=e^x-1，
f（1）=e-2，
所以所求切線方程為y-（e-2）=（e-1）（x-1），
即（e-1）x-y-1=0…（2分）
（2）解：設(shè)g（x）=f（x）-tx²（x≥0），
則有g(shù)（0）=0，
即需g_min（x）≥g（0），
g'（x）=f'（x）-2tx=e^x-2tx-1（x≥0），
令h（x）=e^x-2tx-1（x≥0），則有h'（x）=e^x-2t（x≥0）．
①當(dāng)t≤0時(shí)，h'（x）＞0，所以h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以h（x）≥h（0）=0，則g'（x）≥0，
所以g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以g（x）≥g（0）=0，符合題意．
②若t＞0，則令h'（x）=0，得x=ln2t，
（�。┤� ln2t≤0即0＜t≤

1

2

時(shí)，
h'（x）＞0所以h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以h（x）≥h（0）=0，則g'（x）≥0，
所以g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）≥g（0）=0，符合題意．
（ⅱ） ln2t＞0即t＞

1

2

時(shí)，
x∈（0，ln2t），h'（x）＜0，所以h（x）在（0，ln2t）上單調(diào)遞減，
所以h（x）＜h（0）=0，則g'（x）＜0，
所以g（x）在（0，ln2t）上單調(diào)遞減，所以g（x）＜g（0）=0，不符合題意，
綜上所述：t≤

1

2

．
（3）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）=e^x-1＞0，
∴f（x）≥0恒成立，∴e^x≥1+x，
令x=-

i

n

（n∈N^*，i=1，2，3，4，…，n）
∴e-

i

n

＞1-

i

n

＞0，
e^-i＞（

n-i

n

）ⁿ，

n

i=1

(

i

n

)n=（

1

n

）¹+（

1

n

）²+…+（

1

n

）ⁿ＜e^-（x-1）+e^-（x-2）+…+e^-1+e⁰
=

1-e-n

1-e-1

＜

1

1-e-1

=

e

e-1

＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查切線方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，合理地運(yùn)用分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想解題．