Question

已知向量

a

=(sin

A+B

2

，cos

A-B

2

-

3 2

4

)，

b

=(

5

4

sin

A+B

2

，cos

A-B

2

+

3 2

4

)，其中A、B是△ABC的內(nèi)角，

a

⊥

b

．
（1）求tanA•tanB的值；
（2）若a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，當(dāng)C最大時(shí)，求

c

a

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)

a

⊥

b

推斷出

a

•

b

=0，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合二倍角公式求得tanA•tanB；
（2）由于tanA•tanB=

1

9

＞0，利用基本不等式得出當(dāng)且僅當(dāng) tanA=tanB=

1

3

時(shí)，c取得最大值，再利用同角公式求出sinC，sinA，最后由正弦定理求

c

a

的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意得

a

•

b

= (sin

A+B

2

，cos

A-B

2

-

3 2

4

)•(

5

4

sin

A+B

2

，cos

A-B

2

+

3 2

4

)=0
即

5

4

sin 2

A+B

2

+cos 2

A-B

2

-

9

8

=0，
-5cos（A+B）+4cos（A-B）=0
cosAcosB=9sinAsinB
∴tanA•tanB=

1

9

．
（2）由于tanA•tanB=

1

9

＞0，且A、B是△ABC的內(nèi)角，
∴tanA＞0，tanB＞0
∴tanC=-tan(A+B)=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

9

8

(tanA+tanB)≤-

9

8

×2

tanA•tanB

=-

3

4

當(dāng)且僅當(dāng) tanA=tanB=

1

3

取等號(hào)．
∴c為最大邊時(shí)，有tanA=tanB=

1

3

，tanC=-

3

4

，
∴sinC=

3

5

，sinA=

1

10

由正弦定理得：

c

a

=

sinC

sinA

=

3 5

1 10

=

3 10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值，正弦定理的應(yīng)用，基本不等式的知識(shí)，是一道綜合題，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，公式的熟練程度決定學(xué)生的能力的高低．