Question

（2013•溫州一模）設(shè)A（1，-1），B（0，1），若直線ax+by=1與線AB（包括端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，則a²+b²的最小值為（　�。�

• A．

  1

  4

• B．

  1

  3

• C．

  1

  2

• D．1

Answer 1

分析：由題意得：點(diǎn)A（1，-1），B（0，1）在直線ax+by=1的兩側(cè)，那么把這兩個(gè)點(diǎn)代入ax+by-1，乘積小于等于0，即可得出關(guān)于a，b的不等關(guān)系，畫出此不等關(guān)系表示的平面區(qū)域，結(jié)合線性規(guī)劃思想求出a²+b²的取值范圍．

解答：解：∵直線ax+by=1與線段AB有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴點(diǎn)A（1，-1），B（0，1）在直線ax+by=1的兩側(cè)，
∴（a-b-1）（b-1）≤0，

a-b-1≤0 b-1≥0

或

a-b-1≥0 b-1≤0

畫出它們表示的平面區(qū)域，如圖所示．
a²+b²表示原點(diǎn)到區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的距離的平方，
由圖可知，當(dāng)原點(diǎn)O到直線a-b-1=0的距離為原點(diǎn)到區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的距離的最小值，
∵d=

|-1|

2

=

2

2

，
那么a²+b²的最小值為

1

2

故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查二元一次不等式組與平面區(qū)域問(wèn)題、函數(shù)的最值及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．準(zhǔn)確把握點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，找到圖中的“界”，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．