Question

【題目】已知：等比數(shù)列{}中，公比為q，且a1=2，a4=54，等差數(shù)列{}中，公差為d，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+ a2+ a3.

（I）求數(shù)列{}的通項公式；

（II）求數(shù)列{}的前n項和的公式；

（III）設(shè)，，其中n=1，2，…，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（I）=2·3；（II） ；（III）當(dāng)n≤18時，；當(dāng)n=19時，；當(dāng)n≥20時，.

【解析】

（I）先由{an}的a1，a4求出公比q，再由等比數(shù)列的通項公式即可得結(jié)果;（II）等差數(shù)列{bn}滿足b1+b2+b3+b4=26進(jìn)而求出d，得到bn利用等差數(shù)列的前n項和公式可得結(jié)果；（III）由已知可得b1，b4，b7，b3n-2組成以b1=2為首項，3d為公差的等差數(shù)列，而b10，b12，b14，b2n+8組成以b10=29為首項，2d為公差的等差數(shù)列，求出Pn和Qn后，作差得到關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式，討論n的情況可得結(jié)果．

（I）等比數(shù)列{}中，a4=，則=27，即q=3，則=a1=2·；

（II）由（I）知：

∵數(shù)列{}是等差數(shù)列，∴，

∴，

∴，∴，∴前n項和；

（III）由題知：…，組成以3d為公差的等差數(shù)列，

則，

同理…，組成以2d為公差的等差數(shù)列，，

，

則，

則當(dāng)n≤18時，；當(dāng)n=19時，；當(dāng)n≥20時，.